Leysa {l}{2x+3y=23}{x-2y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 23 } \\ { x - 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=23$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+23$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+23\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+23.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}$$

Settu \frac{-3y+23}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-2y=-13.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}-2y=-13$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við -2y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{23}{2}=-13$$

Dragðu \frac{23}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{23}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 7.

$$x=\frac{-21+23}{2}$$

Leggðu \frac{23}{2} saman við -\frac{21}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 23+\frac{3}{7}\left(-13\right)\\\frac{1}{7}\times 23-\frac{2}{7}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+3y=23,2x+2\left(-2\right)y=2\left(-13\right)$$

Einfaldaðu.

$$2x+3y=23,2x-4y=-26$$

Dragðu 2x-4y=-26 frá 2x+3y=23 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+3y+4y=23+26$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+4y=23+26$$

Leggðu 3y saman við 4y.

$$7y=23+26$$

Leggðu 23 saman við 26.

$$7y=49$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x-2y=-13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-2\times 7=-13$$

Margfaldaðu -2 sinnum 7.

$$x-14=-13$$

Leggðu 14 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=7$$