Leysa {l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1.1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1.1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{213}{140} = 1\frac{73}{140} = 1.5214285714285714$$

$$y=\frac{349}{70}-n$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=18-n$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+18-n$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+18-n.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

Settu -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-y=5n+1.1.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1.1$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}.

$$-6y+36-2n-y=5n+1.1$$

Leggðu -6y saman við -y.

$$-7y+36-2n=5n+1.1$$

Dragðu 36-2n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7y=7n-34.9$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{349}{70}-n$$

Skiptu -n+\frac{349}{70} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{349}{70}-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -n+\frac{349}{70}.

$$x=\frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}-\frac{n}{2}+9$$

Leggðu 9-\frac{n}{2} saman við \frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}.

$$x=n+\frac{213}{140}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1.1\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1.1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{213}{140}\\\frac{349}{70}-n\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1.1\right)$$

Einfaldaðu.

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+2.2$$

Dragðu 8x-2y=10n+2.2 frá 8x+12y=72-4n með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

Leggðu 12y saman við 2y.

$$14y=72-4n-10n-2.2$$

Leggðu 72-4n saman við -10n-2.2.

$$14y=69.8-14n$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$y=\frac{349}{70}-n$$

Skiptu \frac{349}{70}-n út fyrir y í 4x-y=5n+1.1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-\left(\frac{349}{70}-n\right)=5n+1.1$$

Dragðu -\frac{349}{70}+n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=4n+\frac{213}{35}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=n+\frac{213}{140}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$