Leysa {l}{2x+3y=13}{6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=13$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+13$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Settu \frac{-3y+13}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+y=11.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{-3y+13}{2}.

$$-9y+39+y=11$$

Leggðu -9y saman við y.

$$-8y+39=11$$

Dragðu 39 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8y=-28$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=\frac{7}{2}$$

Skiptu \frac{7}{2} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{2}+\frac{13}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{7}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{21}{4}+\frac{13}{2}$$

Leggðu \frac{13}{2} saman við -\frac{21}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{5}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 6}&-\frac{3}{2-3\times 6}\\-\frac{6}{2-3\times 6}&\frac{2}{2-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 13+\frac{3}{16}\times 11\\\frac{3}{8}\times 13-\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

Til að gera 2x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 13,2\times 6x+2y=2\times 11$$

Einfaldaðu.

$$12x+18y=78,12x+2y=22$$

Dragðu 12x+2y=22 frá 12x+18y=78 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+18y-2y=78-22$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18y-2y=78-22$$

Leggðu 18y saman við -2y.

$$16y=78-22$$

Leggðu 78 saman við -22.

$$16y=56$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$y=\frac{7}{2}$$

Skiptu \frac{7}{2} út fyrir y í 6x+y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+\frac{7}{2}=11$$

Dragðu \frac{7}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=\frac{15}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{5}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$