Leysa {l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-65$$

$$y=70$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+2y=10$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2y+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -2y+10.

$$x=-y+5$$

Settu -y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20.

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við \frac{3y}{4}.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 4.

$$y=70$$

Skiptu 70 út fyrir y í x=-y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-70+5$$

Leggðu 5 saman við -70.

$$x=-65$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-65,y=70$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-65,y=70$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Til að gera 2x og \frac{x}{2} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{2} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

Einfaldaðu.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

Dragðu x+\frac{3}{2}y=40 frá x+y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Leggðu y saman við -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

Leggðu 5 saman við -40.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=70$$

Skiptu 70 út fyrir y í \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum 70.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

Dragðu \frac{105}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=-65$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-65,y=70$$