Leysa {l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+14y=-28$$

Dragðu 14y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-14y-28$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -14y-28.

$$x=-7y-14$$

Settu -7y-14 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x-14y=28.

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

Margfaldaðu -4 sinnum -7y-14.

$$28y+56-14y=28$$

Leggðu 28y saman við -14y.

$$14y+56=28$$

Dragðu 56 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$14y=-28$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-7y-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

Margfaldaðu -7 sinnum -2.

$$x=14-14$$

Leggðu -14 saman við 14.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Til að gera 2x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

Einfaldaðu.

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

Dragðu -8x-28y=56 frá -8x-56y=112 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-56y+28y=112-56$$

Leggðu -56y saman við 28y.

$$-28y=112-56$$

Leggðu 112 saman við -56.

$$-28y=56$$

Deildu báðum hliðum með -28.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -4x-14y=28. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

Margfaldaðu -14 sinnum -2.

$$-4x+28=28$$

Dragðu 28 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=0$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-2$$