Leysa {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$2x+10-4y=-16x$$

Bættu 16x við báðar hliðar.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Sameinaðu 2x og 16x til að fá 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$18x-4y=-10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 11y frá báðum hliðum.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Sameinaðu 10y og -11y til að fá -y.

$$-y-10x=-12x$$

Bættu 12x við báðar hliðar.

$$-y-10x+12x=0$$

Sameinaðu -10x og 12x til að fá 2x.

$$-y+2x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$18x-4y=-10$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$18x=4y-10$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{18} sinnum 4y-10.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

Settu \frac{2y-5}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=0.

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2y-5}{9}.

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

Leggðu \frac{4y}{9} saman við -y.

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

Leggðu \frac{10}{9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

Margfaldaðu \frac{2}{9} sinnum -2.

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

Leggðu -\frac{5}{9} saman við -\frac{4}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$2x+10-4y=-16x$$

Bættu 16x við báðar hliðar.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Sameinaðu 2x og 16x til að fá 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$18x-4y=-10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 11y frá báðum hliðum.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Sameinaðu 10y og -11y til að fá -y.

$$-y-10x=-12x$$

Bættu 12x við báðar hliðar.

$$-y-10x+12x=0$$

Sameinaðu -10x og 12x til að fá 2x.

$$-y+2x=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$2x+10-4y=-16x$$

Bættu 16x við báðar hliðar.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Sameinaðu 2x og 16x til að fá 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$18x-4y=-10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 11y frá báðum hliðum.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Sameinaðu 10y og -11y til að fá -y.

$$-y-10x=-12x$$

Bættu 12x við báðar hliðar.

$$-y-10x+12x=0$$

Sameinaðu -10x og 12x til að fá 2x.

$$-y+2x=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Til að gera 18x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 18.

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

Einfaldaðu.

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

Dragðu 36x-18y=0 frá 36x-8y=-20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

Leggðu 36x saman við -36x. Liðirnir 36x og -36x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y+18y=-20$$

Leggðu -8y saman við 18y.

$$10y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 2x-y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-\left(-2\right)=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-2$$