Leysa {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir p, x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu p með því að einangra p vinstra megin við samasemmerkið.

$$2p+3x=10$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2p=-3x+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3x+10.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

Settu -\frac{3x}{2}+5 inn fyrir p í hinni jöfnunni, p-x+2=0.

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

Leggðu -\frac{3x}{2} saman við -x.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

Leggðu 5 saman við 2.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{14}{5}$$

Skiptu \frac{14}{5} út fyrir x í p=-\frac{3}{2}x+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst p strax.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{14}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{21}{5}.

$$p=\frac{4}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna p og x.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Til að gera 2p og p jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

Einfaldaðu.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

Dragðu 2p-2x+4=0 frá 2p+3x=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

Leggðu 2p saman við -2p. Liðirnir 2p og -2p núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3x+2x-4=10$$

Leggðu 3x saman við 2x.

$$5x-4=10$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=14$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{14}{5}$$

Skiptu \frac{14}{5} út fyrir x í p-x+2=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst p strax.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

Leggðu -\frac{14}{5} saman við 2.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

Leggðu \frac{4}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$p=\frac{4}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$