Leysa {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4n frá báðum hliðum.

$$-m+5-4n=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$-m-4n=-5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$2m-3n=130$$

Leggðu 3n saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2m=3n+130$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3n+130.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

Settu \frac{3n}{2}+65 inn fyrir m í hinni jöfnunni, -m-4n=-5.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{3n}{2}+65.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

Leggðu -\frac{3n}{2} saman við -4n.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

Leggðu 65 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Skiptu -\frac{120}{11} út fyrir n í m=\frac{3}{2}n+65. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -\frac{120}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

Leggðu 65 saman við -\frac{180}{11}.

$$m=\frac{535}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4n frá báðum hliðum.

$$-m+5-4n=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$-m-4n=-5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4n frá báðum hliðum.

$$-m+5-4n=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$-m-4n=-5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Til að gera 2m og -m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

Einfaldaðu.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

Dragðu -2m-8n=-10 frá -2m+3n=-130 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

Leggðu -2m saman við 2m. Liðirnir -2m og 2m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3n+8n=-130+10$$

Leggðu 3n saman við 8n.

$$11n=-130+10$$

Leggðu -130 saman við 10.

$$11n=-120$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Skiptu -\frac{120}{11} út fyrir n í -m-4n=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{120}{11}.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

Dragðu \frac{480}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$m=\frac{535}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$