Leysa {l}{2m+3n=1}{7m+3n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$2m+3n=1$$

Dragðu 3n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2m=-3n+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{-3n+1}{2} inn fyrir m í hinni jöfnunni, 7m+3n=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

Leggðu -\frac{21n}{2} saman við 3n.

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

Dragðu \frac{7}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{15}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$n=-\frac{1}{3}$$

Skiptu -\frac{1}{3} út fyrir n í m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -\frac{1}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

Dragðu 7m+3n=6 frá 2m+3n=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

Leggðu 3n saman við -3n. Liðirnir 3n og -3n núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2m-7m=1-6$$

Leggðu 2m saman við -7m.

$$-5m=1-6$$

Leggðu 1 saman við -6.

$$-5m=-5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$m=1$$

Skiptu 1 út fyrir m í 7m+3n=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst n strax.

$$7+3n=6$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3n=-1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$n=-\frac{1}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$