Leysa {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$2m+3n=1$$

Dragðu 3n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2m=-3n+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{-3n+1}{2} inn fyrir m í hinni jöfnunni, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Leggðu -\frac{5n}{2} saman við -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Dragðu \frac{5}{6} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Skiptu -\frac{1}{27} út fyrir n í m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -\frac{1}{27} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{1}{18} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=\frac{5}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Til að gera 2m og \frac{5m}{3} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{5}{3} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Einfaldaðu.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Dragðu \frac{10}{3}m-4n=2 frá \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Leggðu \frac{10m}{3} saman við -\frac{10m}{3}. Liðirnir \frac{10m}{3} og -\frac{10m}{3} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Leggðu 5n saman við 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Skiptu -\frac{1}{27} út fyrir n í \frac{5}{3}m-2n=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Dragðu \frac{2}{27} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$m=\frac{5}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$