Leysa {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=24$$

$$b=16$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3b frá báðum hliðum.

$$2a-3b=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$2a-3b=0$$

Leggðu 3b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2a=3b$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

Settu \frac{3b}{2} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 7a+2b=200.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{3b}{2}.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

Leggðu \frac{21b}{2} saman við 2b.

$$\frac{25}{2}b=200$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{25}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=16$$

Skiptu 16 út fyrir b í a=\frac{3}{2}b. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum 16.

$$a=24$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=24,b=16$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3b frá báðum hliðum.

$$2a-3b=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=24,b=16$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3b frá báðum hliðum.

$$2a-3b=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Til að gera 2a og 7a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

Einfaldaðu.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

Dragðu 14a+4b=400 frá 14a-21b=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

Leggðu 14a saman við -14a. Liðirnir 14a og -14a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-21b-4b=-400$$

Leggðu -21b saman við -4b.

$$-25b=-400$$

Deildu báðum hliðum með -25.

$$b=16$$

Skiptu 16 út fyrir b í 7a+2b=200. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$7a+2\times 16=200$$

Margfaldaðu 2 sinnum 16.

$$7a+32=200$$

Dragðu 32 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7a=168$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$a=24$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=24,b=16$$