Leysa {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$2a+3b=4$$

Dragðu 3b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=-3b+4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Settu -\frac{3b}{2}+2 inn fyrir a í hinni jöfnunni, -2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

Leggðu 3b saman við 3b.

$$6b-4=-16$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6b=-12$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$b=-2$$

Skiptu -2 út fyrir b í a=-\frac{3}{2}b+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -2.

$$a=3+2$$

Leggðu 2 saman við 3.

$$a=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=5,b=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=5,b=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Dragðu -2a+3b=-16 frá 2a+3b=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

Leggðu 3b saman við -3b. Liðirnir 3b og -3b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2a+2a=4+16$$

Leggðu 2a saman við 2a.

$$4a=4+16$$

Leggðu 4 saman við 16.

$$4a=20$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$a=5$$

Skiptu 5 út fyrir a í -2a+3b=-16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$-2\times 5+3b=-16$$

Margfaldaðu -2 sinnum 5.

$$-10+3b=-16$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3b=-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$b=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=5,b=-2$$