Leysa {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Leggðu saman 3 og 1 til að fá 4.

$$2x+6=3y+4$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$2x+6-3y=4$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum.

$$2x-3y=4-6$$

Dragðu 6 frá 4 til að fá út -2.

$$2x-3y=-2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Leggðu saman -4 og 3 til að fá -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Sameinaðu 3x og -2x til að fá x.

$$x-3y-3=-1$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$x-3y=-1+3$$

Leggðu saman -1 og 3 til að fá 2.

$$x-3y=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=-2$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Settu \frac{3y}{2}-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-3y=2.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=2$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við -3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=2$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{3}{2}y=3$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{3}{2}y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -2.

$$x=-3-1$$

Leggðu -1 saman við -3.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Leggðu saman 3 og 1 til að fá 4.

$$2x+6=3y+4$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$2x+6-3y=4$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum.

$$2x-3y=4-6$$

Dragðu 6 frá 4 til að fá út -2.

$$2x-3y=-2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Leggðu saman -4 og 3 til að fá -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Sameinaðu 3x og -2x til að fá x.

$$x-3y-3=-1$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$x-3y=-1+3$$

Leggðu saman -1 og 3 til að fá 2.

$$x-3y=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Leggðu saman 3 og 1 til að fá 4.

$$2x+6=3y+4$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$2x+6-3y=4$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum.

$$2x-3y=4-6$$

Dragðu 6 frá 4 til að fá út -2.

$$2x-3y=-2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Leggðu saman -4 og 3 til að fá -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Sameinaðu 3x og -2x til að fá x.

$$x-3y-3=-1$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$x-3y=-1+3$$

Leggðu saman -1 og 3 til að fá 2.

$$x-3y=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Dragðu x-3y=2 frá 2x-3y=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-x-3y+3y=-2-2$$

Leggðu -3y saman við 3y. Liðirnir -3y og 3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-x=-2-2$$

Leggðu 2x saman við -x.

$$x=-2-2$$

Leggðu -2 saman við -2.

$$x=-4$$

Skiptu -4 út fyrir x í x-3y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-4-3y=2$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3y=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-2$$