Leysa {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Bættu 8 við báðar hliðar.

$$6x+3y=31+8$$

Leggðu saman 31 og 8 til að fá 39.

$$6x+3y=39$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 2,5.

$$5x-2y=50$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+3y=39$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-3y+39$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -3y+39.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Settu \frac{-y+13}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-y+13}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

Leggðu -\frac{5y}{2} saman við -2y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

Dragðu \frac{65}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Skiptu -\frac{35}{9} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -\frac{35}{9} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

Leggðu \frac{13}{2} saman við \frac{35}{18} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{76}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Bættu 8 við báðar hliðar.

$$6x+3y=31+8$$

Leggðu saman 31 og 8 til að fá 39.

$$6x+3y=39$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 2,5.

$$5x-2y=50$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Bættu 8 við báðar hliðar.

$$6x+3y=31+8$$

Leggðu saman 31 og 8 til að fá 39.

$$6x+3y=39$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 2,5.

$$5x-2y=50$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Til að gera 6x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

Einfaldaðu.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

Dragðu 30x-12y=300 frá 30x+15y=195 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

Leggðu 30x saman við -30x. Liðirnir 30x og -30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y+12y=195-300$$

Leggðu 15y saman við 12y.

$$27y=195-300$$

Leggðu 195 saman við -300.

$$27y=-105$$

Deildu báðum hliðum með 27.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Skiptu -\frac{35}{9} út fyrir y í 5x-2y=50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{35}{9}.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

Dragðu \frac{70}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=\frac{380}{9}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{76}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$