Leysa {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Leggðu -6 saman við 12.

$$4x+3y+6=7$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x+3y=1$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-3y+1$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Settu \frac{-3y+1}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við 2.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

Margfaldaðu -5 sinnum -y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

Leggðu -3y saman við 5y.

$$2y+9-10=-3$$

Leggðu 9 saman við -10.

$$2y-1=-3$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum -1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við \frac{3}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Einfaldaðu fyrstu jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Leggðu -6 saman við 12.

$$4x+3y+6=7$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x+3y=1$$

Einfaldaðu aðra jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Margfaldaðu 4 sinnum x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

Margfaldaðu -5 sinnum -y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

Leggðu 8 saman við -10.

$$4x+5y-2=-3$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x+5y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-1$$