Leysa {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$16m+50n=55$$

Dragðu 50n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$16m=-50n+55$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{16} sinnum -50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

Settu -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} inn fyrir m í hinni jöfnunni, 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

Leggðu -\frac{25n}{4} saman við 4n.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

Dragðu \frac{55}{8} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$n=\frac{5}{6}$$

Skiptu \frac{5}{6} út fyrir n í m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

Margfaldaðu -\frac{25}{8} sinnum \frac{5}{6} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

Leggðu \frac{55}{16} saman við -\frac{125}{48} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Til að gera 16m og 2m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 16.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

Einfaldaðu.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

Dragðu 32m+64n=80 frá 32m+100n=110 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

Leggðu 32m saman við -32m. Liðirnir 32m og -32m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$100n-64n=110-80$$

Leggðu 100n saman við -64n.

$$36n=110-80$$

Leggðu 110 saman við -80.

$$36n=30$$

Deildu báðum hliðum með 36.

$$n=\frac{5}{6}$$

Skiptu \frac{5}{6} út fyrir n í 2m+4n=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

Dragðu \frac{10}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2m=\frac{5}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$m=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$