Leysa {l}{16=3a+b}{24a=155a+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 = 3 a + b } \\ { 24 a = 155 a + b } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=-\frac{1}{8}=-0.125$$

$$b = \frac{131}{8} = 16\frac{3}{8} = 16.375$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3a+b=16$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 155a frá báðum hliðum.

$$24a-155a=b$$

Sameinaðu 24a og -155a til að fá -131a.

$$-131a=b$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$-131a-b=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3a+b=16,-131a-b=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$3a+b=16$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3a=-b+16$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b+16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -b+16.

$$a=-\frac{1}{3}b+\frac{16}{3}$$

Settu \frac{-b+16}{3} inn fyrir a í hinni jöfnunni, -131a-b=0.

$$-131\left(-\frac{1}{3}b+\frac{16}{3}\right)-b=0$$

Margfaldaðu -131 sinnum \frac{-b+16}{3}.

$$\frac{131}{3}b-\frac{2096}{3}-b=0$$

Leggðu \frac{131b}{3} saman við -b.

$$\frac{128}{3}b-\frac{2096}{3}=0$$

Leggðu \frac{2096}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{128}{3}b=\frac{2096}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{128}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=\frac{131}{8}$$

Skiptu \frac{131}{8} út fyrir b í a=-\frac{1}{3}b+\frac{16}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{1}{3}\times \frac{131}{8}+\frac{16}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{131}{8} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$a=-\frac{131}{24}+\frac{16}{3}$$

Leggðu \frac{16}{3} saman við -\frac{131}{24} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=-\frac{1}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-\frac{1}{8},b=\frac{131}{8}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3a+b=16$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 155a frá báðum hliðum.

$$24a-155a=b$$

Sameinaðu 24a og -155a til að fá -131a.

$$-131a=b$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$-131a-b=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3a+b=16,-131a-b=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-131&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-131\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-131\right)}\\-\frac{-131}{3\left(-1\right)-\left(-131\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-131\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{128}&-\frac{1}{128}\\\frac{131}{128}&\frac{3}{128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{128}\times 16\\\frac{131}{128}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\\\frac{131}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=-\frac{1}{8},b=\frac{131}{8}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3a+b=16$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 155a frá báðum hliðum.

$$24a-155a=b$$

Sameinaðu 24a og -155a til að fá -131a.

$$-131a=b$$

Dragðu b frá báðum hliðum.

$$-131a-b=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3a+b=16,-131a-b=0$$

Til að gera 3a og -131a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -131 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-131\times 3a-131b=-131\times 16,3\left(-131\right)a+3\left(-1\right)b=0$$

Einfaldaðu.

$$-393a-131b=-2096,-393a-3b=0$$

Dragðu -393a-3b=0 frá -393a-131b=-2096 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-393a+393a-131b+3b=-2096$$

Leggðu -393a saman við 393a. Liðirnir -393a og 393a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-131b+3b=-2096$$

Leggðu -131b saman við 3b.

$$-128b=-2096$$

Deildu báðum hliðum með -128.

$$b=\frac{131}{8}$$

Skiptu \frac{131}{8} út fyrir b í -131a-b=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$-131a-\frac{131}{8}=0$$

Leggðu \frac{131}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-131a=\frac{131}{8}$$

Deildu báðum hliðum með -131.

$$a=-\frac{1}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-\frac{1}{8},b=\frac{131}{8}$$