Leysa {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=2$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$150y+200x=1000$$

Dragðu 200x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$150y=-200x+1000$$

Deildu báðum hliðum með 150.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{150} sinnum -200x+1000.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

Settu \frac{-4x+20}{3} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 100y+400x=1200.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

Margfaldaðu 100 sinnum \frac{-4x+20}{3}.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

Leggðu -\frac{400x}{3} saman við 400x.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

Dragðu \frac{2000}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{800}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum 2.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

Leggðu \frac{20}{3} saman við -\frac{8}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=4,x=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=4,x=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Til að gera 150y og 100y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 100 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 150.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

Einfaldaðu.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

Dragðu 15000y+60000x=180000 frá 15000y+20000x=100000 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

Leggðu 15000y saman við -15000y. Liðirnir 15000y og -15000y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

Leggðu 20000x saman við -60000x.

$$-40000x=100000-180000$$

Leggðu 100000 saman við -180000.

$$-40000x=-80000$$

Deildu báðum hliðum með -40000.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í 100y+400x=1200. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$100y+400\times 2=1200$$

Margfaldaðu 400 sinnum 2.

$$100y+800=1200$$

Dragðu 800 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$100y=400$$

Deildu báðum hliðum með 100.

$$y=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=4,x=2$$