Leysa {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$11x+19y=25$$

Dragðu 19y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$11x=-19y+25$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{11} sinnum -19y+25.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

Settu \frac{-19y+25}{11} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

Margfaldaðu 19 sinnum \frac{-19y+25}{11}.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

Leggðu -\frac{361y}{11} saman við 11y.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

Dragðu \frac{475}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{240}{11}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{31}{24}$$

Skiptu \frac{31}{24} út fyrir y í x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

Margfaldaðu -\frac{19}{11} sinnum \frac{31}{24} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Leggðu \frac{25}{11} saman við -\frac{589}{264} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{1}{24}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Til að gera 11x og 19x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 19 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 11.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Einfaldaðu.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

Dragðu 209x+121y=165 frá 209x+361y=475 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

Leggðu 209x saman við -209x. Liðirnir 209x og -209x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$361y-121y=475-165$$

Leggðu 361y saman við -121y.

$$240y=475-165$$

Leggðu 475 saman við -165.

$$240y=310$$

Deildu báðum hliðum með 240.

$$y=\frac{31}{24}$$

Skiptu \frac{31}{24} út fyrir y í 19x+11y=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

Margfaldaðu 11 sinnum \frac{31}{24}.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

Dragðu \frac{341}{24} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$19x=\frac{19}{24}$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$x=\frac{1}{24}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$