Leysa {l}{11a+55d=132}{2a+13d=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 a + 55 d = 132 } \\ { 2 a + 13 d = 30 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, d

$$a=2$$

$$d=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$11a+55d=132,2a+13d=30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$11a+55d=132$$

Dragðu 55d frá báðum hliðum jöfnunar.

$$11a=-55d+132$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$a=\frac{1}{11}\left(-55d+132\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{11} sinnum -55d+132.

$$a=-5d+12$$

Settu -5d+12 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 2a+13d=30.

$$2\left(-5d+12\right)+13d=30$$

Margfaldaðu 2 sinnum -5d+12.

$$-10d+24+13d=30$$

Leggðu -10d saman við 13d.

$$3d+24=30$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3d=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$d=2$$

Skiptu 2 út fyrir d í a=-5d+12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-5\times 2+12$$

Margfaldaðu -5 sinnum 2.

$$a=-10+12$$

Leggðu 12 saman við -10.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,d=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$11a+55d=132,2a+13d=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}11&55\\2&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}132\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}11&55\\2&13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&55\\2&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&55\\2&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&55\\2&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&55\\2&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&55\\2&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11\times 13-55\times 2}&-\frac{55}{11\times 13-55\times 2}\\-\frac{2}{11\times 13-55\times 2}&\frac{11}{11\times 13-55\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{33}&-\frac{5}{3}\\-\frac{2}{33}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{33}\times 132-\frac{5}{3}\times 30\\-\frac{2}{33}\times 132+\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og d.

$$a=2,d=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$11a+55d=132,2a+13d=30$$

Til að gera 11a og 2a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 11.

$$2\times 11a+2\times 55d=2\times 132,11\times 2a+11\times 13d=11\times 30$$

Einfaldaðu.

$$22a+110d=264,22a+143d=330$$

Dragðu 22a+143d=330 frá 22a+110d=264 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$22a-22a+110d-143d=264-330$$

Leggðu 22a saman við -22a. Liðirnir 22a og -22a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$110d-143d=264-330$$

Leggðu 110d saman við -143d.

$$-33d=264-330$$

Leggðu 264 saman við -330.

$$-33d=-66$$

Deildu báðum hliðum með -33.

$$d=2$$

Skiptu 2 út fyrir d í 2a+13d=30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$2a+13\times 2=30$$

Margfaldaðu 13 sinnum 2.

$$2a+26=30$$

Dragðu 26 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,d=2$$