Leysa {l}{10x-20y=-20}{5x+8y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x - 20 y = - 20 } \\ { 5 x + 8 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x-20y=-20,5x+8y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x-20y=-20$$

Leggðu 20y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10x=20y-20$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(20y-20\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -20+20y.

$$x=2y-2$$

Settu -2+2y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+8y=2.

$$5\left(2y-2\right)+8y=2$$

Margfaldaðu 5 sinnum -2+2y.

$$10y-10+8y=2$$

Leggðu 10y saman við 8y.

$$18y-10=2$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$18y=12$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$y=\frac{2}{3}$$

Skiptu \frac{2}{3} út fyrir y í x=2y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times \frac{2}{3}-2$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2}{3}.

$$x=\frac{4}{3}-2$$

Leggðu -2 saman við \frac{4}{3}.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{3},y=\frac{2}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x-20y=-20,5x+8y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&-20\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&-20\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-20\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-20\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-20\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-20\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-20\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-20\times 5\right)}&-\frac{-20}{10\times 8-\left(-20\times 5\right)}\\-\frac{5}{10\times 8-\left(-20\times 5\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-20\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{45}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{45}\left(-20\right)+\frac{1}{9}\times 2\\-\frac{1}{36}\left(-20\right)+\frac{1}{18}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{2}{3},y=\frac{2}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x-20y=-20,5x+8y=2$$

Til að gera 10x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 10.

$$5\times 10x+5\left(-20\right)y=5\left(-20\right),10\times 5x+10\times 8y=10\times 2$$

Einfaldaðu.

$$50x-100y=-100,50x+80y=20$$

Dragðu 50x+80y=20 frá 50x-100y=-100 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$50x-50x-100y-80y=-100-20$$

Leggðu 50x saman við -50x. Liðirnir 50x og -50x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-100y-80y=-100-20$$

Leggðu -100y saman við -80y.

$$-180y=-100-20$$

Leggðu -100 saman við -20.

$$-180y=-120$$

Deildu báðum hliðum með -180.

$$y=\frac{2}{3}$$

Skiptu \frac{2}{3} út fyrir y í 5x+8y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+8\times \frac{2}{3}=2$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{2}{3}.

$$5x+\frac{16}{3}=2$$

Dragðu \frac{16}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-\frac{10}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{3},y=\frac{2}{3}$$