Leysa {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$10x+y-6y=5$$

Sameinaðu y og -6y til að fá -5y.

$$10x-5y=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$10y+x-10x=y+27$$

Sameinaðu x og -10x til að fá -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$10y-9x-y=27$$

Sameinaðu 10y og -y til að fá 9y.

$$9y-9x=27$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x-5y=5$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10x=5y+5$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum 5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{1+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

Margfaldaðu -9 sinnum \frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Leggðu -\frac{9y}{2} saman við 9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Leggðu \frac{9}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{7}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=7$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$10x+y-6y=5$$

Sameinaðu y og -6y til að fá -5y.

$$10x-5y=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$10y+x-10x=y+27$$

Sameinaðu x og -10x til að fá -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$10y-9x-y=27$$

Sameinaðu 10y og -y til að fá 9y.

$$9y-9x=27$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=7$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$10x+y-6y=5$$

Sameinaðu y og -6y til að fá -5y.

$$10x-5y=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$10y+x-10x=y+27$$

Sameinaðu x og -10x til að fá -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$10y-9x-y=27$$

Sameinaðu 10y og -y til að fá 9y.

$$9y-9x=27$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Til að gera 10x og -9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 10.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Einfaldaðu.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

Dragðu -90x+90y=270 frá -90x+45y=-45 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

Leggðu -90x saman við 90x. Liðirnir -90x og 90x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$45y-90y=-45-270$$

Leggðu 45y saman við -90y.

$$-45y=-45-270$$

Leggðu -45 saman við -270.

$$-45y=-315$$

Deildu báðum hliðum með -45.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í -9x+9y=27. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-9x+9\times 7=27$$

Margfaldaðu 9 sinnum 7.

$$-9x+63=27$$

Dragðu 63 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9x=-36$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=7$$