Leysa {l}{10x+25y=600}{15x+30y=750}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 25 y = 600 } \\ { 15 x + 30 y = 750 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x+25y=600$$

Dragðu 25y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x=-25y+600$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-25y+600\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -25y+600.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Settu -\frac{5y}{2}+60 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 15x+30y=750.

$$15\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+30y=750$$

Margfaldaðu 15 sinnum -\frac{5y}{2}+60.

$$-\frac{75}{2}y+900+30y=750$$

Leggðu -\frac{75y}{2} saman við 30y.

$$-\frac{15}{2}y+900=750$$

Dragðu 900 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{15}{2}y=-150$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{15}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=20$$

Skiptu 20 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+60. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times 20+60$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum 20.

$$x=-50+60$$

Leggðu 60 saman við -50.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=20$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{10\times 30-25\times 15}&-\frac{25}{10\times 30-25\times 15}\\-\frac{15}{10\times 30-25\times 15}&\frac{10}{10\times 30-25\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 600+\frac{1}{3}\times 750\\\frac{1}{5}\times 600-\frac{2}{15}\times 750\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=20$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Til að gera 10x og 15x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 15 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 10.

$$15\times 10x+15\times 25y=15\times 600,10\times 15x+10\times 30y=10\times 750$$

Einfaldaðu.

$$150x+375y=9000,150x+300y=7500$$

Dragðu 150x+300y=7500 frá 150x+375y=9000 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$150x-150x+375y-300y=9000-7500$$

Leggðu 150x saman við -150x. Liðirnir 150x og -150x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$375y-300y=9000-7500$$

Leggðu 375y saman við -300y.

$$75y=9000-7500$$

Leggðu 9000 saman við -7500.

$$75y=1500$$

Deildu báðum hliðum með 75.

$$y=20$$

Skiptu 20 út fyrir y í 15x+30y=750. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$15x+30\times 20=750$$

Margfaldaðu 30 sinnum 20.

$$15x+600=750$$

Dragðu 600 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$15x=150$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=20$$