Leysa {l}{10x+10y=9}{5x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x+10y=9$$

Dragðu 10y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x=-10y+9$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -10y+9.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

Settu -y+\frac{9}{10} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-2y=1.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

Margfaldaðu 5 sinnum -y+\frac{9}{10}.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

Leggðu -5y saman við -2y.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{1}{2}$$

Skiptu \frac{1}{2} út fyrir y í x=-y+\frac{9}{10}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

Leggðu \frac{9}{10} saman við -\frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{2}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Til að gera 10x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 10.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

Einfaldaðu.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

Dragðu 50x-20y=10 frá 50x+50y=45 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

Leggðu 50x saman við -50x. Liðirnir 50x og -50x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$50y+20y=45-10$$

Leggðu 50y saman við 20y.

$$70y=45-10$$

Leggðu 45 saman við -10.

$$70y=35$$

Deildu báðum hliðum með 70.

$$y=\frac{1}{2}$$

Skiptu \frac{1}{2} út fyrir y í 5x-2y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{1}{2}.

$$5x-1=1$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=2$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{2}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$