Leysa {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=20$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$1.5x-3.5y=-5$$

Leggðu \frac{7y}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$1.5x=3.5y-5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 1.5. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum \frac{7y}{2}-5.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

Settu \frac{7y-10}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -1.2x+2.5y=1.

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

Margfaldaðu -1.2 sinnum \frac{7y-10}{3}.

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

Leggðu -\frac{14y}{5} saman við \frac{5y}{2}.

$$-0.3y+4=1$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.3y=-3$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.3. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

Margfaldaðu \frac{7}{3} sinnum 10.

$$x=\frac{70-10}{3}$$

Leggðu -\frac{10}{3} saman við \frac{70}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=20,y=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Til að gera \frac{3x}{2} og -\frac{6x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1.2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.5.

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

Einfaldaðu.

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

Dragðu -1.8x+3.75y=1.5 frá -1.8x+4.2y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

Leggðu -\frac{9x}{5} saman við \frac{9x}{5}. Liðirnir -\frac{9x}{5} og \frac{9x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

Leggðu \frac{21y}{5} saman við -\frac{15y}{4}.

$$0.45y=6-1.5$$

Leggðu 6 saman við -1.5.

$$0.45y=4.5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.45. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í -1.2x+2.5y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

Margfaldaðu 2.5 sinnum 10.

$$-1.2x+25=1$$

Dragðu 25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-1.2x=-24$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -1.2. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=10$$