Leysa {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.5x-0.8y=-5$$

Leggðu \frac{4y}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.5x=0.8y-5$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{4y}{5}-5.

$$x=1.6y-10$$

Settu \frac{8y}{5}-10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4.

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum \frac{8y}{5}-10.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

Leggðu \frac{8y}{15} saman við \frac{y}{5}.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

Leggðu \frac{10}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{15}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=1.6y-10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=1.6\times 10-10$$

Margfaldaðu 1.6 sinnum 10.

$$x=16-10$$

Leggðu -10 saman við 16.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Til að gera \frac{x}{2} og \frac{x}{3} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{3} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0.5.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

Dragðu \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 frá \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Leggðu \frac{x}{6} saman við -\frac{x}{6}. Liðirnir \frac{x}{6} og -\frac{x}{6} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Leggðu -\frac{4y}{15} saman við -\frac{y}{10}.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við -2.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{30}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 10.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x=2$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=10$$