Leysa {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=28$$

$$y=30$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.5x+0.7y=35$$

Dragðu \frac{7y}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.5x=-0.7y+35$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{7y}{10}+35.

$$x=-1.4y+70$$

Settu -\frac{7y}{5}+70 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

Leggðu -\frac{7y}{5} saman við \frac{2y}{5}.

$$-y+70=40$$

Dragðu 70 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-30$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í x=-1.4y+70. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-1.4\times 30+70$$

Margfaldaðu -1.4 sinnum 30.

$$x=-42+70$$

Leggðu 70 saman við -42.

$$x=28$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=28,y=30$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=28,y=30$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Til að gera \frac{x}{2} og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0.5.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

Einfaldaðu.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

Dragðu 0.5x+0.2y=20 frá 0.5x+0.7y=35 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við -\frac{x}{2}. Liðirnir \frac{x}{2} og -\frac{x}{2} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

Leggðu \frac{7y}{10} saman við -\frac{y}{5}.

$$0.5y=35-20$$

Leggðu 35 saman við -20.

$$0.5y=15$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í x+0.4y=40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+0.4\times 30=40$$

Margfaldaðu 0.4 sinnum 30.

$$x+12=40$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=28$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=28,y=30$$