Leysa {l}{0.3x+0.1y=0.5}{0.1x-0.3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x + 0.1 y = 0.5 } \\ { 0.1 x - 0.3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2.5$$

$$y=-2.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.3x+0.1y=0.5,0.1x-0.3y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.3x+0.1y=0.5$$

Dragðu \frac{y}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.3x=-0.1y+0.5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.3. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{10}{3}\left(-0.1y+0.5\right)$$

Margfaldaðu \frac{10}{3} sinnum -\frac{y}{10}+0.5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.1x-0.3y=1.

$$0.1\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-0.3y=1$$

Margfaldaðu 0.1 sinnum \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{1}{30}y+\frac{1}{6}-0.3y=1$$

Leggðu -\frac{y}{30} saman við -\frac{3y}{10}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=1$$

Dragðu \frac{1}{6} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{6}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$y=-2.5$$

Skiptu -2.5 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2.5\right)+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -2.5 með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{5}{6}+\frac{5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við \frac{5}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2.5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2.5,y=-2.5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.3x+0.1y=0.5,0.1x-0.3y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.3}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}&-\frac{0.1}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}\\-\frac{0.1}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 0.5+1\\0.5-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\-2.5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2.5,y=-2.5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.3x+0.1y=0.5,0.1x-0.3y=1$$

Til að gera \frac{3x}{10} og \frac{x}{10} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0.3.

$$0.1\times 0.3x+0.1\times 0.1y=0.1\times 0.5,0.3\times 0.1x+0.3\left(-0.3\right)y=0.3$$

Einfaldaðu.

$$0.03x+0.01y=0.05,0.03x-0.09y=0.3$$

Dragðu 0.03x-0.09y=0.3 frá 0.03x+0.01y=0.05 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.03x-0.03x+0.01y+0.09y=0.05-0.3$$

Leggðu \frac{3x}{100} saman við -\frac{3x}{100}. Liðirnir \frac{3x}{100} og -\frac{3x}{100} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.01y+0.09y=0.05-0.3$$

Leggðu \frac{y}{100} saman við \frac{9y}{100}.

$$0.1y=0.05-0.3$$

Leggðu 0.05 saman við -0.3 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$0.1y=-0.25$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 10.

$$y=-2.5$$

Skiptu -2.5 út fyrir y í 0.1x-0.3y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.1x-0.3\left(-2.5\right)=1$$

Margfaldaðu -0.3 sinnum -2.5 með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$0.1x+0.75=1$$

Dragðu 0.75 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.1x=0.25$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 10.

$$x=2.5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2.5,y=-2.5$$