Leysa {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{130}{43}\approx 3,023255814$$

$$y=\frac{391}{43}\approx 9,093023256$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0,6x+2y=20$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0,6x=-2y+20$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0,6. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum -2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

Settu \frac{-10y+100}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

Leggðu \frac{40y}{3} saman við y.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

Leggðu -\frac{400}{3} saman við 2.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

Leggðu \frac{394}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{43}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{391}{43}$$

Skiptu \frac{391}{43} út fyrir y í x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{10}{3} sinnum \frac{391}{43} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

Leggðu \frac{100}{3} saman við -\frac{3910}{129} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{130}{43}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0,6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0,6-2\left(-4\right)}&\frac{0,6}{0,6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Til að gera \frac{3x}{5} og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0,6.

$$-4\times 0,6x-4\times 2y=-4\times 20;0,6\left(-4\right)x+0,6y+0,6\times 2=0,6\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$-2,4x-8y=-80;-2,4x+0,6y+1,2=-0,6$$

Dragðu -2,4x+0,6y+1,2=-0,6 frá -2,4x-8y=-80 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2,4x+2,4x-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

Leggðu -\frac{12x}{5} saman við \frac{12x}{5}. Liðirnir -\frac{12x}{5} og \frac{12x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

Leggðu -8y saman við -\frac{3y}{5}.

$$-8,6y-1,2=-80+0,6$$

Leggðu -80 saman við 0,6.

$$-8,6y-1,2=-79,4$$

Leggðu 1,2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-8,6y=-78,2$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -8,6. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{391}{43}$$

Skiptu \frac{391}{43} út fyrir y í -4x+y+2=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

Leggðu \frac{391}{43} saman við 2.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

Dragðu \frac{477}{43} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=\frac{130}{43}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$