Leysa {l}{-x+3y=6}{x-7y=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 6 } \\ { x - 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-21$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+3y=6$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-3y+6$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -3y+6.

$$x=3y-6$$

Settu -6+3y inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-7y=14.

$$3y-6-7y=14$$

Leggðu 3y saman við -7y.

$$-4y-6=14$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4y=20$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x=3y-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\left(-5\right)-6$$

Margfaldaðu 3 sinnum -5.

$$x=-15-6$$

Leggðu -6 saman við -15.

$$x=-21$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-21,y=-5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{3}{-\left(-7\right)-3}\\-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 14\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-21,y=-5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Til að gera -x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$-x+3y=6,-x-\left(-7y\right)=-14$$

Einfaldaðu.

$$-x+3y=6,-x+7y=-14$$

Dragðu -x+7y=-14 frá -x+3y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x+3y-7y=6+14$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-7y=6+14$$

Leggðu 3y saman við -7y.

$$-4y=6+14$$

Leggðu 6 saman við 14.

$$-4y=20$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x-7y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-7\left(-5\right)=14$$

Margfaldaðu -7 sinnum -5.

$$x+35=14$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-21$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-21,y=-5$$