Leysa {l}{-x+2y=8}{2x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+2y=8,2x+y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+2y=8$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-2y+8$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-2y+8\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -2y+8.

$$x=2y-8$$

Settu -8+2y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=-1.

$$2\left(2y-8\right)+y=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum -8+2y.

$$4y-16+y=-1$$

Leggðu 4y saman við y.

$$5y-16=-1$$

Leggðu 16 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=2y-8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times 3-8$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x=6-8$$

Leggðu -8 saman við 6.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+2y=8,2x+y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-2\times 2}&-\frac{2}{-1-2\times 2}\\-\frac{2}{-1-2\times 2}&-\frac{1}{-1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+2y=8,2x+y=-1$$

Til að gera -x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\times 8,-2x-y=-\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$-2x+4y=16,-2x-y=1$$

Dragðu -2x-y=1 frá -2x+4y=16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+4y+y=16-1$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y+y=16-1$$

Leggðu 4y saman við y.

$$5y=16-1$$

Leggðu 16 saman við -1.

$$5y=15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 2x+y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3=-1$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=3$$