Leysa {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-8x+4y=24$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8x=-4y+24$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum -4y+24.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

Settu \frac{y}{2}-3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -7x+7y=28.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

Margfaldaðu -7 sinnum \frac{y}{2}-3.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

Leggðu -\frac{7y}{2} saman við 7y.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 2.

$$x=1-3$$

Leggðu -3 saman við 1.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Til að gera -8x og -7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -8.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

Einfaldaðu.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

Dragðu 56x-56y=-224 frá 56x-28y=-168 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

Leggðu 56x saman við -56x. Liðirnir 56x og -56x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-28y+56y=-168+224$$

Leggðu -28y saman við 56y.

$$28y=-168+224$$

Leggðu -168 saman við 224.

$$28y=56$$

Deildu báðum hliðum með 28.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -7x+7y=28. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-7x+7\times 2=28$$

Margfaldaðu 7 sinnum 2.

$$-7x+14=28$$

Dragðu 14 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7x=14$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=2$$