Leysa {l}{-7x-2y=14}{6x+6y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 2 y = 14 } \\ { 6 x + 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-7x-2y=14$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7x=2y+14$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(2y+14\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{7} sinnum 14+2y.

$$x=-\frac{2}{7}y-2$$

Settu -\frac{2y}{7}-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+6y=18.

$$6\left(-\frac{2}{7}y-2\right)+6y=18$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{2y}{7}-2.

$$-\frac{12}{7}y-12+6y=18$$

Leggðu -\frac{12y}{7} saman við 6y.

$$\frac{30}{7}y-12=18$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{30}{7}y=30$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{30}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=-\frac{2}{7}y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{7}\times 7-2$$

Margfaldaðu -\frac{2}{7} sinnum 7.

$$x=-2-2$$

Leggðu -2 saman við -2.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 14-\frac{1}{15}\times 18\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{7}{30}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Til að gera -7x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -7.

$$6\left(-7\right)x+6\left(-2\right)y=6\times 14,-7\times 6x-7\times 6y=-7\times 18$$

Einfaldaðu.

$$-42x-12y=84,-42x-42y=-126$$

Dragðu -42x-42y=-126 frá -42x-12y=84 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-42x+42x-12y+42y=84+126$$

Leggðu -42x saman við 42x. Liðirnir -42x og 42x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y+42y=84+126$$

Leggðu -12y saman við 42y.

$$30y=84+126$$

Leggðu 84 saman við 126.

$$30y=210$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í 6x+6y=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+6\times 7=18$$

Margfaldaðu 6 sinnum 7.

$$6x+42=18$$

Dragðu 42 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-24$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=7$$