Leysa {l}{-6x-4y=2}{2x+8y=26}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 6 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-6x-4y=2$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-6x=4y+2$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(4y+2\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{6} sinnum 4y+2.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-2y-1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+8y=26.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=26$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-2y-1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+8y=26$$

Leggðu -\frac{4y}{3} saman við 8y.

$$\frac{20}{3}y-\frac{2}{3}=26$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{20}{3}y=\frac{80}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{20}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 4.

$$x=\frac{-8-1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við -\frac{8}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{6}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{10}\times 26\\\frac{1}{20}\times 2+\frac{3}{20}\times 26\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Til að gera -6x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -6.

$$2\left(-6\right)x+2\left(-4\right)y=2\times 2,-6\times 2x-6\times 8y=-6\times 26$$

Einfaldaðu.

$$-12x-8y=4,-12x-48y=-156$$

Dragðu -12x-48y=-156 frá -12x-8y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-12x+12x-8y+48y=4+156$$

Leggðu -12x saman við 12x. Liðirnir -12x og 12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y+48y=4+156$$

Leggðu -8y saman við 48y.

$$40y=4+156$$

Leggðu 4 saman við 156.

$$40y=160$$

Deildu báðum hliðum með 40.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 2x+8y=26. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+8\times 4=26$$

Margfaldaðu 8 sinnum 4.

$$2x+32=26$$

Dragðu 32 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=4$$