Leysa {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$5y-10x=-15$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-5x+y=-12$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-y-12$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -y-12.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

Settu \frac{12+y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -10x+5y=-15.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

Margfaldaðu -10 sinnum \frac{12+y}{5}.

$$-2y-24+5y=-15$$

Leggðu -2y saman við 5y.

$$3y-24=-15$$

Leggðu 24 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 3.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

Leggðu \frac{12}{5} saman við \frac{3}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$5y-10x=-15$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$5y-10x=-15$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Til að gera -5x og -10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -5.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

Einfaldaðu.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

Dragðu 50x-25y=75 frá 50x-10y=120 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

Leggðu 50x saman við -50x. Liðirnir 50x og -50x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y+25y=120-75$$

Leggðu -10y saman við 25y.

$$15y=120-75$$

Leggðu 120 saman við -75.

$$15y=45$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í -10x+5y=-15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-10x+5\times 3=-15$$

Margfaldaðu 5 sinnum 3.

$$-10x+15=-15$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10x=-30$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=3$$