Leysa {l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-4x-2y=-16$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4x=2y-16$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum -16+2y.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Settu -\frac{y}{2}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-5y=11.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

Leggðu -\frac{7y}{2} saman við -5y.

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

Dragðu 28 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{17}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 2.

$$x=-1+4$$

Leggðu 4 saman við -1.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Til að gera -4x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -4.

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

Einfaldaðu.

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

Dragðu -28x+20y=-44 frá -28x-14y=-112 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

Leggðu -28x saman við 28x. Liðirnir -28x og 28x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-14y-20y=-112+44$$

Leggðu -14y saman við -20y.

$$-34y=-112+44$$

Leggðu -112 saman við 44.

$$-34y=-68$$

Deildu báðum hliðum með -34.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 7x-5y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-5\times 2=11$$

Margfaldaðu -5 sinnum 2.

$$7x-10=11$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=21$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$