Leysa {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=11$$

$$y=36$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-10x+3y=-2$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10x=-3y-2$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{10} sinnum -3y-2.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

Settu \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-y=8.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

Leggðu \frac{6y}{5} saman við -y.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

Dragðu \frac{4}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 5.

$$y=36$$

Skiptu 36 út fyrir y í x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{10} sinnum 36.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

Leggðu \frac{1}{5} saman við \frac{54}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11,y=36$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=11,y=36$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Til að gera -10x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -10.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

Einfaldaðu.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

Dragðu -40x+10y=-80 frá -40x+12y=-8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

Leggðu -40x saman við 40x. Liðirnir -40x og 40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-10y=-8+80$$

Leggðu 12y saman við -10y.

$$2y=-8+80$$

Leggðu -8 saman við 80.

$$2y=72$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=36$$

Skiptu 36 út fyrir y í 4x-y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-36=8$$

Leggðu 36 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=44$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11,y=36$$