Leysa {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Til að finna andstæðu -x-y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -4 með y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Sameinaðu y og -4y til að fá -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Margfaldaðu -1 og -1 til að fá út 1.

$$x-3y+4x=8$$

Sameinaðu x og 4x til að fá 5x.

$$5x-3y=8$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Leggðu saman -1 og 6 til að fá 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Dragðu 5 frá 5 til að fá út 0.

$$3x+2y=20$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-3y=8$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=3y+8$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Settu \frac{3y+8}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

Leggðu \frac{9y}{5} saman við 2y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

Dragðu \frac{24}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum 4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Leggðu \frac{8}{5} saman við \frac{12}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Til að finna andstæðu -x-y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -4 með y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Sameinaðu y og -4y til að fá -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Margfaldaðu -1 og -1 til að fá út 1.

$$x-3y+4x=8$$

Sameinaðu x og 4x til að fá 5x.

$$5x-3y=8$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Leggðu saman -1 og 6 til að fá 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Dragðu 5 frá 5 til að fá út 0.

$$3x+2y=20$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Til að finna andstæðu -x-y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -4 með y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Sameinaðu y og -4y til að fá -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Margfaldaðu -1 og -1 til að fá út 1.

$$x-3y+4x=8$$

Sameinaðu x og 4x til að fá 5x.

$$5x-3y=8$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Leggðu saman -1 og 6 til að fá 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Dragðu 5 frá 5 til að fá út 0.

$$3x+2y=20$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

Einfaldaðu.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

Dragðu 15x+10y=100 frá 15x-9y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y-10y=24-100$$

Leggðu -9y saman við -10y.

$$-19y=24-100$$

Leggðu 24 saman við -100.

$$-19y=-76$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 3x+2y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times 4=20$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$3x+8=20$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=4$$