Leysa {l}{(x+3)(y-1)=xy+2}{(x-1)(y+3)=xy-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 3 ) ( y - 1 ) = x y + 2 } \\ { ( x - 1 ) ( y + 3 ) = x y - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x+3 með y-1.

$$xy-x+3y-3=xy+2$$

Dragðu xy frá báðum hliðum.

$$xy-x+3y-3-xy=2$$

Sameinaðu xy og -xy til að fá 0.

$$-x+3y-3=2$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$-x+3y=2+3$$

Leggðu saman 2 og 3 til að fá 5.

$$-x+3y=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x-1 með y+3.

$$xy+3x-y-3=xy-2$$

Dragðu xy frá báðum hliðum.

$$xy+3x-y-3-xy=-2$$

Sameinaðu xy og -xy til að fá 0.

$$3x-y-3=-2$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$3x-y=-2+3$$

Leggðu saman -2 og 3 til að fá 1.

$$3x-y=1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+3y=5,3x-y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+3y=5$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-3y+5$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-3y+5\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -3y+5.

$$x=3y-5$$

Settu 3y-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-y=1.

$$3\left(3y-5\right)-y=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum 3y-5.

$$9y-15-y=1$$

Leggðu 9y saman við -y.

$$8y-15=1$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8y=16$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=3y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\times 2-5$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2.

$$x=6-5$$

Leggðu -5 saman við 6.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x+3 með y-1.

$$xy-x+3y-3=xy+2$$

Dragðu xy frá báðum hliðum.

$$xy-x+3y-3-xy=2$$

Sameinaðu xy og -xy til að fá 0.

$$-x+3y-3=2$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$-x+3y=2+3$$

Leggðu saman 2 og 3 til að fá 5.

$$-x+3y=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x-1 með y+3.

$$xy+3x-y-3=xy-2$$

Dragðu xy frá báðum hliðum.

$$xy+3x-y-3-xy=-2$$

Sameinaðu xy og -xy til að fá 0.

$$3x-y-3=-2$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$3x-y=-2+3$$

Leggðu saman -2 og 3 til að fá 1.

$$3x-y=1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+3y=5,3x-y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x+3 með y-1.

$$xy-x+3y-3=xy+2$$

Dragðu xy frá báðum hliðum.

$$xy-x+3y-3-xy=2$$

Sameinaðu xy og -xy til að fá 0.

$$-x+3y-3=2$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$-x+3y=2+3$$

Leggðu saman 2 og 3 til að fá 5.

$$-x+3y=5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x-1 með y+3.

$$xy+3x-y-3=xy-2$$

Dragðu xy frá báðum hliðum.

$$xy+3x-y-3-xy=-2$$

Sameinaðu xy og -xy til að fá 0.

$$3x-y-3=-2$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$3x-y=-2+3$$

Leggðu saman -2 og 3 til að fá 1.

$$3x-y=1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+3y=5,3x-y=1$$

Til að gera -x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 5,-3x-\left(-y\right)=-1$$

Einfaldaðu.

$$-3x+9y=15,-3x+y=-1$$

Dragðu -3x+y=-1 frá -3x+9y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+9y-y=15+1$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-y=15+1$$

Leggðu 9y saman við -y.

$$8y=15+1$$

Leggðu 15 saman við 1.

$$8y=16$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 3x-y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2=1$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$