Leysa {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Leggðu saman 4 og 1 til að fá 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Dragðu x^{2} frá báðum hliðum.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Sameinaðu x^{2} og -x^{2} til að fá 0.

$$4x+5=5y$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum.

$$4x+5-5y=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$4x-5y=-5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-5y=-5$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=5y-5$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Settu \frac{-5+5y}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Leggðu \frac{15y}{4} saman við y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Leggðu \frac{15}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Leggðu -\frac{5}{4} saman við \frac{5}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Leggðu saman 4 og 1 til að fá 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Dragðu x^{2} frá báðum hliðum.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Sameinaðu x^{2} og -x^{2} til að fá 0.

$$4x+5=5y$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum.

$$4x+5-5y=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$4x-5y=-5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Leggðu saman 4 og 1 til að fá 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Dragðu x^{2} frá báðum hliðum.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Sameinaðu x^{2} og -x^{2} til að fá 0.

$$4x+5=5y$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum.

$$4x+5-5y=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$4x-5y=-5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Einfaldaðu.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Dragðu 12x+4y=4 frá 12x-15y=-15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-15y-4y=-15-4$$

Leggðu -15y saman við -4y.

$$-19y=-15-4$$

Leggðu -15 saman við -4.

$$-19y=-19$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 3x+y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+1=1$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=0$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=1$$