Leysa {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Margfaldaðu -2 sinnum b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

Leggðu 4026 saman við 2012.

$$a-2b+6038=3$$

Dragðu 6038 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a-2b=-6035$$

Leggðu 2b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$a=2b-6035$$

Settu 2b-6035 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Leggðu -6035 saman við 2012.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2b-4023.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum b-2013.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

Leggðu 6b saman við 4b.

$$10b-12069-8052=5$$

Leggðu -12069 saman við -8052.

$$10b-20121=5$$

Leggðu 20121 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10b=20126$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$b=\frac{10063}{5}$$

Skiptu \frac{10063}{5} út fyrir b í a=2b-6035. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{10063}{5}.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

Leggðu -6035 saman við \frac{20126}{5}.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Einfaldaðu fyrstu jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Margfaldaðu -2 sinnum b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

Leggðu 4026 saman við 2012.

$$a-2b+6038=3$$

Dragðu 6038 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a-2b=-6035$$

Einfaldaðu aðra jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum a+2012.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum b-2013.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

Leggðu 6036 saman við -8052.

$$3a+4b-2016=5$$

Leggðu 2016 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3a+4b=2021$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$