Leysa {l}{(A+B)2-B=3}{(2A+B)4-B=17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( A + B ) 2 - B = 3 } \\ { ( 2 A + B ) 4 - B = 17 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir A, B

$$A=4$$

$$B=-5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda A+B með 2.

$$2A+2B-B=3$$

Sameinaðu 2B og -B til að fá B.

$$2A+B=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2A+B með 4.

$$8A+4B-B=17$$

Sameinaðu 4B og -B til að fá 3B.

$$8A+3B=17$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2A+B=3,8A+3B=17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu A með því að einangra A vinstra megin við samasemmerkið.

$$2A+B=3$$

Dragðu B frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2A=-B+3$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$A=\frac{1}{2}\left(-B+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -B+3.

$$A=-\frac{1}{2}B+\frac{3}{2}$$

Settu \frac{-B+3}{2} inn fyrir A í hinni jöfnunni, 8A+3B=17.

$$8\left(-\frac{1}{2}B+\frac{3}{2}\right)+3B=17$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{-B+3}{2}.

$$-4B+12+3B=17$$

Leggðu -4B saman við 3B.

$$-B+12=17$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-B=5$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$B=-5$$

Skiptu -5 út fyrir B í A=-\frac{1}{2}B+\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst A strax.

$$A=-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -5.

$$A=\frac{5+3}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við \frac{5}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$A=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$A=4,B=-5$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda A+B með 2.

$$2A+2B-B=3$$

Sameinaðu 2B og -B til að fá B.

$$2A+B=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2A+B með 4.

$$8A+4B-B=17$$

Sameinaðu 4B og -B til að fá 3B.

$$8A+3B=17$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2A+B=3,8A+3B=17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-8}&-\frac{1}{2\times 3-8}\\-\frac{8}{2\times 3-8}&\frac{2}{2\times 3-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 17\\4\times 3-17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna A og B.

$$A=4,B=-5$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda A+B með 2.

$$2A+2B-B=3$$

Sameinaðu 2B og -B til að fá B.

$$2A+B=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2A+B með 4.

$$8A+4B-B=17$$

Sameinaðu 4B og -B til að fá 3B.

$$8A+3B=17$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2A+B=3,8A+3B=17$$

Til að gera 2A og 8A jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$8\times 2A+8B=8\times 3,2\times 8A+2\times 3B=2\times 17$$

Einfaldaðu.

$$16A+8B=24,16A+6B=34$$

Dragðu 16A+6B=34 frá 16A+8B=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$16A-16A+8B-6B=24-34$$

Leggðu 16A saman við -16A. Liðirnir 16A og -16A núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8B-6B=24-34$$

Leggðu 8B saman við -6B.

$$2B=24-34$$

Leggðu 24 saman við -34.

$$2B=-10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$B=-5$$

Skiptu -5 út fyrir B í 8A+3B=17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst A strax.

$$8A+3\left(-5\right)=17$$

Margfaldaðu 3 sinnum -5.

$$8A-15=17$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8A=32$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$A=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$A=4,B=-5$$