Leysa {l}{x-4/4y=1/12}{2x/y-2=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - 4 } { 4 y } = \frac { 1 } { 12 } } \\ { \frac { 2 x } { y - 2 } = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12y, minnsta sameiginlega margfeldi 4y,12.

$$3\left(x-4\right)=y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x-4.

$$3x-12=y$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x-12-y=0$$

Bættu 12 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-y=12$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 2, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með y-2.

$$2x=2\left(y-2\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-2.

$$2x=2y-4$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$2x-2y=-4$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y=12,2x-2y=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y=12$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y+12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y+12.

$$x=\frac{1}{3}y+4$$

Settu \frac{y}{3}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-2y=-4.

$$2\left(\frac{1}{3}y+4\right)-2y=-4$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{y}{3}+4.

$$\frac{2}{3}y+8-2y=-4$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við -2y.

$$-\frac{4}{3}y+8=-4$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{4}{3}y=-12$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{4}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 9+4$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 9.

$$x=3+4$$

Leggðu 4 saman við 3.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=9$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12y, minnsta sameiginlega margfeldi 4y,12.

$$3\left(x-4\right)=y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x-4.

$$3x-12=y$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x-12-y=0$$

Bættu 12 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-y=12$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 2, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með y-2.

$$2x=2\left(y-2\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-2.

$$2x=2y-4$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$2x-2y=-4$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y=12,2x-2y=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 12-\frac{1}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{2}\times 12-\frac{3}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=9$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12y, minnsta sameiginlega margfeldi 4y,12.

$$3\left(x-4\right)=y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x-4.

$$3x-12=y$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x-12-y=0$$

Bættu 12 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-y=12$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 2, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með y-2.

$$2x=2\left(y-2\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-2.

$$2x=2y-4$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$2x-2y=-4$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y=12,2x-2y=-4$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 12,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x-2y=24,6x-6y=-12$$

Dragðu 6x-6y=-12 frá 6x-2y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-2y+6y=24+12$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y+6y=24+12$$

Leggðu -2y saman við 6y.

$$4y=24+12$$

Leggðu 24 saman við 12.

$$4y=36$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í 2x-2y=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-2\times 9=-4$$

Margfaldaðu -2 sinnum 9.

$$2x-18=-4$$

Leggðu 18 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=14$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=9$$