Leysa {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=12$$

$$y=30$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 30, minnsta sameiginlega margfeldi 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-6y=-120$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=6y-120$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -120+6y.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

Settu \frac{6y}{5}-24 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=-24.

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{6y}{5}-24.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

Leggðu \frac{18y}{5} saman við -2y.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

Leggðu 72 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{8}{5}y=48$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í x=\frac{6}{5}y-24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

Margfaldaðu \frac{6}{5} sinnum 30.

$$x=36-24$$

Leggðu -24 saman við 36.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=30$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 30, minnsta sameiginlega margfeldi 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=12,y=30$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 30, minnsta sameiginlega margfeldi 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 12, minnsta sameiginlega margfeldi 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

Einfaldaðu.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

Dragðu 15x-10y=-120 frá 15x-18y=-360 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-18y+10y=-360+120$$

Leggðu -18y saman við 10y.

$$-8y=-360+120$$

Leggðu -360 saman við 120.

$$-8y=-240$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í 3x-2y=-24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\times 30=-24$$

Margfaldaðu -2 sinnum 30.

$$3x-60=-24$$

Leggðu 60 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=36$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=30$$