Leysa {l}{x/3+y/4=-7/12}{x/2+frac{y}{3}=-frac{1}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = - \frac { 7 } { 12 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 6 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=11$$

$$y=-17$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12}$$

Dragðu \frac{y}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$x=3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}\right)$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{y}{4}-\frac{7}{12}.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

Settu \frac{-3y-7}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum \frac{-3y-7}{4}.

$$-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Leggðu -\frac{3y}{8} saman við \frac{y}{3}.

$$-\frac{1}{24}y-\frac{7}{8}=-\frac{1}{6}$$

Leggðu \frac{7}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{1}{24}y=\frac{17}{24}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -24.

$$y=-17$$

Skiptu -17 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-17\right)-\frac{7}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum -17.

$$x=\frac{51-7}{4}$$

Leggðu -\frac{7}{4} saman við \frac{51}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11,y=-17$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24&18\\36&-24\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\left(-\frac{7}{12}\right)+18\left(-\frac{1}{6}\right)\\36\left(-\frac{7}{12}\right)-24\left(-\frac{1}{6}\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=11,y=-17$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Til að gera \frac{x}{3} og \frac{x}{2} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{2} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{12}\right),\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24},\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18}$$

Dragðu \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18} frá \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Leggðu \frac{x}{6} saman við -\frac{x}{6}. Liðirnir \frac{x}{6} og -\frac{x}{6} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Leggðu \frac{y}{8} saman við -\frac{y}{9}.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Leggðu -\frac{7}{24} saman við \frac{1}{18} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{17}{72}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 72.

$$y=-17$$

Skiptu -17 út fyrir y í \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-17\right)=-\frac{1}{6}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -17.

$$\frac{1}{2}x-\frac{17}{3}=-\frac{1}{6}$$

Leggðu \frac{17}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=\frac{11}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11,y=-17$$