Leysa {l}{x/3+y/2=6}{2(3x-4)-3(y-1)=43}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 6 } \\ { 2 ( 3 x - 4 ) - 3 ( y - 1 ) = 43 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2} = 10.5$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=6,2\left(3x-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=6$$

Dragðu \frac{y}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+6$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{y}{2}+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+18$$

Settu -\frac{3y}{2}+18 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2\left(3x-4\right)-3\left(y-1\right)=43.

$$2\left(3\left(-\frac{3}{2}y+18\right)-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{3y}{2}+18.

$$2\left(-\frac{9}{2}y+54-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

Leggðu 54 saman við -4.

$$2\left(-\frac{9}{2}y+50\right)-3\left(y-1\right)=43$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{9y}{2}+50.

$$-9y+100-3\left(y-1\right)=43$$

Margfaldaðu -3 sinnum y-1.

$$-9y+100-3y+3=43$$

Leggðu -9y saman við -3y.

$$-12y+100+3=43$$

Leggðu 100 saman við 3.

$$-12y+103=43$$

Dragðu 103 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-12y=-60$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+18$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 5.

$$x=-\frac{15}{2}+18$$

Leggðu 18 saman við -\frac{15}{2}.

$$x=\frac{21}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{21}{2},y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=6,2\left(3x-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

Einfaldaðu aðra jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$2\left(3x-4\right)-3\left(y-1\right)=43$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3x-4.

$$6x-8-3\left(y-1\right)=43$$

Margfaldaðu -3 sinnum y-1.

$$6x-8-3y+3=43$$

Leggðu -8 saman við 3.

$$6x-3y-5=43$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x-3y=48$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 6}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 6}\\-\frac{6}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 6}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\48\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 6+\frac{1}{8}\times 48\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{12}\times 48\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{2}\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{21}{2},y=5$$