Leysa {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Margfaldaðu 1 og 2 til að fá út 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Leggðu saman 2 og 1 til að fá 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Margfaldaðu 3 og 3 til að fá út 9.

$$3x+y=9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Margfaldaðu 3 og 2 til að fá út 6.

$$6x-5y=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=9$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Settu -\frac{y}{3}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

Leggðu -2y saman við -5y.

$$-7y+18=-3$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7y=-21$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum 3.

$$x=-1+3$$

Leggðu 3 saman við -1.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Margfaldaðu 1 og 2 til að fá út 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Leggðu saman 2 og 1 til að fá 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Margfaldaðu 3 og 3 til að fá út 9.

$$3x+y=9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Margfaldaðu 3 og 2 til að fá út 6.

$$6x-5y=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Margfaldaðu 1 og 2 til að fá út 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Leggðu saman 2 og 1 til að fá 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Margfaldaðu 3 og 3 til að fá út 9.

$$3x+y=9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 15, minnsta sameiginlega margfeldi 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Margfaldaðu 3 og 2 til að fá út 6.

$$6x-5y=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Til að gera 3x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

Dragðu 18x-15y=-9 frá 18x+6y=54 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

Leggðu 18x saman við -18x. Liðirnir 18x og -18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+15y=54+9$$

Leggðu 6y saman við 15y.

$$21y=54+9$$

Leggðu 54 saman við 9.

$$21y=63$$

Deildu báðum hliðum með 21.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 6x-5y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-5\times 3=-3$$

Margfaldaðu -5 sinnum 3.

$$6x-15=-3$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=12$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$