Leysa {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Sameinaðu y og -3y til að fá -2y.

$$x-2y+2=6$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum.

$$x-2y=6-2$$

Dragðu 2 frá 6 til að fá út 4.

$$x-2y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Margfaldaðu 2 og 2 til að fá út 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Dragðu 6x frá báðum hliðum.

$$3x+4y-6x=-8$$

Sameinaðu 3x og -6x til að fá -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-2y=4$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2y+4$$

Settu 4+2y inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

Margfaldaðu -3 sinnum 4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

Leggðu -6y saman við 4y.

$$-2y-12=-8$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2y=4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=2y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2.

$$x=-4+4$$

Leggðu 4 saman við -4.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Sameinaðu y og -3y til að fá -2y.

$$x-2y+2=6$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum.

$$x-2y=6-2$$

Dragðu 2 frá 6 til að fá út 4.

$$x-2y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Margfaldaðu 2 og 2 til að fá út 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Dragðu 6x frá báðum hliðum.

$$3x+4y-6x=-8$$

Sameinaðu 3x og -6x til að fá -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Sameinaðu y og -3y til að fá -2y.

$$x-2y+2=6$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum.

$$x-2y=6-2$$

Dragðu 2 frá 6 til að fá út 4.

$$x-2y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Margfaldaðu 2 og 2 til að fá út 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Dragðu 6x frá báðum hliðum.

$$3x+4y-6x=-8$$

Sameinaðu 3x og -6x til að fá -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Til að gera x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

Einfaldaðu.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

Dragðu -3x+4y=-8 frá -3x+6y=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-4y=-12+8$$

Leggðu 6y saman við -4y.

$$2y=-12+8$$

Leggðu -12 saman við 8.

$$2y=-4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -3x+4y=-8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2.

$$-3x-8=-8$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3x=0$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-2$$