Leysa {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -5,0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með y\left(y+5\right), minnsta sameiginlega margfeldi y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda y með x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda y+5 með x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Dragðu yx frá báðum hliðum.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Sameinaðu yx og -yx til að fá 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum.

$$2y-7y=5x+35$$

Sameinaðu 2y og -7y til að fá -5y.

$$-5y=5x+35$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum 35+5x.

$$y=-x-7$$

Settu -x-7 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

Margfaldaðu -4 sinnum -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

Leggðu 4x saman við 2x.

$$6x+28=-1$$

Dragðu 28 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-29$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Skiptu -\frac{29}{6} út fyrir x í y=-x-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

Leggðu -7 saman við \frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -5,0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með y\left(y+5\right), minnsta sameiginlega margfeldi y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda y með x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda y+5 með x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Dragðu yx frá báðum hliðum.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Sameinaðu yx og -yx til að fá 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum.

$$2y-7y=5x+35$$

Sameinaðu 2y og -7y til að fá -5y.

$$-5y=5x+35$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$-5y-5x=35$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -5,0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með y\left(y+5\right), minnsta sameiginlega margfeldi y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda y með x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda y+5 með x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Dragðu yx frá báðum hliðum.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Sameinaðu yx og -yx til að fá 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum.

$$2y-7y=5x+35$$

Sameinaðu 2y og -7y til að fá -5y.

$$-5y=5x+35$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$-5y-5x=35$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Til að gera -5y og -4y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -5.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

Dragðu 20y-10x=5 frá 20y+20x=-140 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

Leggðu 20y saman við -20y. Liðirnir 20y og -20y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20x+10x=-140-5$$

Leggðu 20x saman við 10x.

$$30x=-140-5$$

Leggðu -140 saman við -5.

$$30x=-145$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Skiptu -\frac{29}{6} út fyrir x í -4y+2x=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

Leggðu \frac{29}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$