Leysa {l}{x+2/3-2(y-1)=0}{x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 3 } - 2 ( y - 1 ) = 0 } \\ { x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{3}\left(x+2\right)-2\left(y-1\right)=0,x+y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{3}\left(x+2\right)-2\left(y-1\right)=0$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum x+2.

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-2\left(y-1\right)=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum y-1.

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-2y+2=0$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við 2.

$$\frac{1}{3}x-2y+\frac{8}{3}=0$$

Dragðu \frac{8}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x-2y=-\frac{8}{3}$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x=2y-\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$x=3\left(2y-\frac{8}{3}\right)$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2y-\frac{8}{3}.

$$x=6y-8$$

Settu 6y-8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=-1.

$$6y-8+y=-1$$

Leggðu 6y saman við y.

$$7y-8=-1$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=7$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=6y-8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=6-8$$

Leggðu -8 saman við 6.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{3}\left(x+2\right)-2\left(y-1\right)=0,x+y=-1$$

Einfaldaðu fyrstu jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$\frac{1}{3}\left(x+2\right)-2\left(y-1\right)=0$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum x+2.

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-2\left(y-1\right)=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum y-1.

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-2y+2=0$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við 2.

$$\frac{1}{3}x-2y+\frac{8}{3}=0$$

Dragðu \frac{8}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x-2y=-\frac{8}{3}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{\frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{6}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-\frac{8}{3}\right)+\frac{6}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-\frac{8}{3}\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=1$$